Тем кто верит в Абсолютную истину в относительной плоскости.

[Vitaly1]

Тем кто верит в Абсолютную истину в относительной плоскости:

"Если в наше время можно говорить о картине природы, складывающейся в точных науках, речь, по сути дела, идет уже не о картине природы, а о картине наших отношений к природе..."
" Математические формулы отражают теперь уже не природу, а наше знание о ней ..."
" в естествознании предметом исследования является уже не природа сама по себе..."
"физик-атомщик... его наука ... не может говорить попросту о природе "как таковой" ..."
“ в результате получается, что те законы природы, которым мы даем математическую формулировку в квантовой теории, относятся уже не к элементарным частицам как таковым, а к нашему знанию о них .”
(“Природа”, №6, 1987, статья “Картина природы в современной физике”, слова Гейзенберга (один из создателей квантовой теории))

“Научная теория – система абстрактных понятий и утверждений, которая представляет собой не непосредственное, а идеализированное отображение действительности. ”
(“Магистерская диссертация методика написания …”, Москва, 1997, Ф.А. Кузин)


“Искатели в относительной плоскости находят только то, что ищут. Они находят то, что ожидают, потому что в излюбленных ими теориях всегда есть известная доля истины. Но, человек, ищущий диаметрально противоположное тому, чего добиваются эти искатели, также найдет то, что он ищет, потому что в его взглядах заключена тоже доля истины, и он непременно должен найти то, что ей соответствует. Каждый из искателей сознает, что нашел долю истины, но каждый делает ошибку, предполагая, что в найденном им заключается вся истина, потому оспаривает притязания других. ”
(“Пути достижения индийских йогов”, Москва, 1991, “Моя библиотека”, Рамачарака)

[tyomitch]

"so what?" (c)



Я действительно не понял, к чему ты это. Давай я из своего любимого Екклезиаста цитат надёргаю, и будем друг в друга ими кидаться, а?

[Approximator]

Я действительно не понял, к чему ты это. Давай я из своего любимого Екклезиаста цитат надёргаю, и будем друг в друга ими кидаться, а?

Хорошее занятие - кидаться цитатами - берите больше, кидайте дальше/точнее.

[GSerg]

Ага
С моей стороны тогда будет Ежи Лец

[Vitaly1]

tyomitch писал(а):

Я действительно не понял, к чему ты это. Давай я из своего любимого Екклезиаста цитат надёргаю, и будем друг в друга ими кидаться, а?

tyomitch, в Экклезиасте как раз сказано, что ерунда это все, наука.

А к тому я это, что даже физик ядерщик писал о том, что знания науки ограничены, и что они не отражают объективно реальность, во что большинство вас всех тут верит.

[xolod]

To Vitaly1
ИМХО, ты либо куришь каждый день, либо злостный флудер..
Выбирай

[tyomitch]

Знания науки неограничены - сидят где-нибудь в институте математики, или скажем, философы, и выдвигают гипотезы пачками. Без проблем.

А вот объективную реальность наука не отражает просто потому, что её - объективной реальности - нет. Вообще, понятие "объективности" - абстракция, выдуманная наукой. Ни для кого не является неоспоримым существование вообще чего бы то ни было, помимо его сознания; о какой объективности при этом вообще можно говорить?

[Vitaly1]

Знания науки неограничены

- Все знания ограниченны нашим ограниченным пониманием! Об этом тверди все философские школы от идеалистических до материалистических!

сидят где-нибудь в институте математики, или скажем, философы, и выдвигают гипотезы пачками. Без проблем.

Ну и что, пусть выдвигают, я что против, имеют право.

А вот объективную реальность наука не отражает просто потому, что её - объективной реальности - нет. Вообще, понятие "объективности" - абстракция, выдуманная наукой.

А что же тогда есть, субъективная реальность без объектов?
Объективную реальность идиалисты понимали по свойму, а материалисты по свойму, некоторые из последних утверждали что мир познаваем до определенного предела.

Идеалисты называли Бога Истинной, а все остальное не Истинной.

Ни для кого не является неоспоримым существование вообще чего бы то ни было, помимо его сознания; о какой объективности при этом вообще можно говорить?

Когда то в детстве я прочел книгу, увы, забыл автора, - страна слепых. Так получилось, что в этой стране на протяжении многих поколений рождались слепые, зрячий, попавший в эту страну не мог им объяснить что значит видеть, не мог объяснить приимущество зрения, так как слепые прекрастно ориентировались в своей стране. Так он и не смог объяснить слепым что значит видеть, что значит слепой и т.п.
Как можно объяснить человеку что существует помимо материи еще и Бог, если он этого не чувствует, и говорит, раз я его не вижу, значит Бога нет! И говорит, - а я как "Бог", я все могу познать в ограниченной природе неограничено!

[tyomitch]

Поскольку я не философ, грузить меня заумными терминами бесполезно - я ничего не пойму. Объясни мне по-человечески:
1) что ограничивает знания науки;
2) что такое "объективная реальность".
После этого сможем продолжить дискуссию.

[Approximator]

Знания науки неограничены - сидят где-нибудь в институте математики, или скажем, философы, и выдвигают гипотезы пачками. Без проблем.

С математикой (вообще с точными науками) и математиками такое может быть, с философами уже сложнее. Утрированно - философия (в смысле, философское направление) тождественно точке зрения автора на нечто. Причём нечто хотя бы частично должно быть воспринимаемо и другими людьми. То есть, уже с философией уже не всё так просто, про естественные науки вообще и речи быть не может.

А вот объективную реальность наука не отражает просто потому, что её - объективной реальности - нет. Вообще, понятие "объективности" - абстракция, выдуманная наукой. Ни для кого не является неоспоримым существование вообще чего бы то ни было, помимо его сознания; о какой объективности при этом вообще можно говорить?

Это есть позиция субъективного идеализма, но есть ещё и материализм, в коем принято считать, что материя (в твоих терминах "объективная реальность") существует вне зависимости от нашего знания о ней

[Approximator]

Ни для кого не является неоспоримым существование вообще чего бы то ни было, помимо его сознания; о какой объективности при этом вообще можно говорить?

Когда то в детстве я прочел книгу, увы, забыл автора, - страна слепых.

Был такой "малоизвестный" (кавычки для Красавицы ) автор Герберт Уэллс.

[tyomitch]

Знания науки неограничены - сидят где-нибудь в институте математики, или скажем, философы, и выдвигают гипотезы пачками. Без проблем.

С математикой (вообще с точными науками) и математиками такое может быть, с философами уже сложнее. Утрированно - философия (в смысле, философское направление) тождественно точке зрения автора на нечто. Причём нечто хотя бы частично должно быть воспринимаемо и другими людьми. То есть, уже с философией уже не всё так просто, про естественные науки вообще и речи быть не может.

Под "наукой" я понимал науку в целом, т.е. сумму знаний математиков, философов, физиков и т.д. Имхо эта сумма знаний неограничена.

А вот объективную реальность наука не отражает просто потому, что её - объективной реальности - нет. Вообще, понятие "объективности" - абстракция, выдуманная наукой. Ни для кого не является неоспоримым существование вообще чего бы то ни было, помимо его сознания; о какой объективности при этом вообще можно говорить?

Это есть позиция субъективного идеализма, но есть ещё и материализм, в коем принято считать, что материя (в твоих терминах "объективная реальность") существует вне зависимости от нашего знания о ней

Это не в моих терминах, а Ленина Был такой малоизвестный философ
Я имел в виду, что опираясь только на свои ощущения и логические заключения, человек не может сделать вывод о наличии объективной реальности. Верить в её существование или не верить - личный выбор каждого, абсотютное большинство людей верит

[Ramzes]

И как только после такого флуда у модераторов язык поворачеваеться сказать, что со флудом у нас все впорядке


Все на выборы новых модераторов

[Approximator]

Знания науки неограничены - сидят где-нибудь в институте математики, или скажем, философы, и выдвигают гипотезы пачками. Без проблем.

С математикой (вообще с точными науками) и математиками такое может быть, с философами уже сложнее. Утрированно - философия (в смысле, философское направление) тождественно точке зрения автора на нечто. Причём нечто хотя бы частично должно быть воспринимаемо и другими людьми. То есть, уже с философией уже не всё так просто, про естественные науки вообще и речи быть не может.

Под "наукой" я понимал науку в целом, т.е. сумму знаний математиков, философов, физиков и т.д. Имхо эта сумма знаний неограничена.

Всё равно ограничена , так как, человеческие знания дискретны по своей сути, а всё дискретное, как минимум, счётно (например, сравни мощности множества всех рациональных чисел и вещественного континуума). Такая вот, получается математика , в смысле, "сумма".

А вот объективную реальность наука не отражает просто потому, что её - объективной реальности - нет. Вообще, понятие "объективности" - абстракция, выдуманная наукой. Ни для кого не является неоспоримым существование вообще чего бы то ни было, помимо его сознания; о какой объективности при этом вообще можно говорить?

Это есть позиция субъективного идеализма, но есть ещё и материализм, в коем принято считать, что материя (в твоих терминах "объективная реальность") существует вне зависимости от нашего знания о ней

Это не в моих терминах, а Ленина Был такой малоизвестный философ
Я имел в виду, что опираясь только на свои ощущения и логические заключения, человек не может сделать вывод о наличии объективной реальности. Верить в её существование или не верить - личный выбор каждого, абсотютное большинство людей верит

Дык, этот малоизвестный филосов был адептом диалектического материализма, то есть, по его мнению, материя (она же объективная реальность) существует сама по себе вне зависимости от нашего знания о ней, более того, познаваема.

Я имел в виду, что опираясь только на свои ощущения и логические заключения, человек не может сделать вывод о наличии объективной реальности. Верить в её существование или не верить - личный выбор каждого, абсотютное большинство людей верит

Стало быть, Вы, батенька (:) в смысле собеседник В.И. Ленина ), сторонник субъективного идеализма? Дык, это же (твоё высказывание) недоказуемо (в рамках субъективного идеализма, в иных теориях его истинность/ложность могут быть вполне доказуемы).

Кстати, если уж быть полностью справедливым и последовательным, то в рамках неопозитивизма всё-таки было показано (логически), что проблема недоказумемости ложности/истинности твоего высказывания вовсе не связана с сутью проблемы познаваемости объективной реальности, а всего лишь с проблемами содержательных формальных систем, в частности языка, которым мы пользуемся . А теорема о познаваемости объективной реальности в рамках неопозитивизма была доказана .

[tyomitch]

(Квотить не буду, и так уже на экран не влезает.)
1) Рассмотри множество функций из N в N. Оно дискретно (если понимать это как "найдутся два таких элемента, между которыми ничего нету"), но континуально.
И всё равно из счётности знаний ещё не следовала бы их ограниченность.

2) Можно пользоваться терминами малоизвестного философа, не принимая его теорию целиком, ведь так? Он верил, что материя существует, а я нет И таки да, я вполне осознаю недоказуемость познаваемости/непознаваемости/отсутствия материи, опираясь на одни только впечатления.

3) Просвети - как в философии можно "доказывать теоремы"? Там, что ли, можно ввести систему аксиом? Сколько меня учили, я увидел там только сплошные умозрительные мудрствования вместо логики.

[Vitaly1]

Поскольку я не философ, грузить меня заумными терминами бесполезно - я ничего не пойму. Объясни мне по-человечески:
1) что ограничивает знания науки;
2) что такое "объективная реальность".
После этого сможем продолжить дискуссию.

tyomitch - попытаюсь ответить, на отвои, отнюдь не легкие вопросы:
1) До того, как наука открыла магнитные бури, она говорила, что ерунда это, что есть дни, которые влияют на здоровье человека. До открытия радиактивного излучения, для науки оно не существовало, хотя оно существовало.
К чему я это, к тому, что наука познает только часть мира, а не мир в целом. Почему так? Потому, что не дано нашему уму, нашим органам чувств и нашим приоборам увидеть мир в целом. Не можем же мы за счет только наших мышц допрыгнуть до луны, так и у разума нашего тоже есть ограничения.
2) что такое "объективная реальность". - сложно сказать, по Ильичу, или по Марксу, впрочем, это наверняка заимствовано у других философов, но это в философии не преследуется ,
Материя - объективная реальность, данная нам в ощущениях, существующая вне, и вне зависимости от нашего сознания.
Т.е. для материалистов материя и есть объективная реальность, но как это не парадоксально, сами же материалисты говорят, что эту объективную реальность человек воспринимает субъетивно, т.е. не как вещь саму в себе, ну с икажениями, что ли.

По идеализму материя производная от Духа, Бога, или называй его как хочешь.
Материальный мир объектов в некоторых школах тоже существует, но состояние его, и существование его зависит от Бога.
Все что производная от Бога является неистинным, не вечным, а истинным и вечным является только Бог.
Далее надо глубже копать в Идеализм, что б разъеснять смысл этой философской системы.

Был такой "малоизвестный" (кавычки для Красавицы ) автор Герберт Уэллс.

Аппроксиматор, спасибо за напоминание, да, малоизвестный автор

[tyomitch]

Vitaly1, производная от бога - это отношение его приращения к приращению божьего аргумента?


Кроме шуток, ты же сам утверждаешь, что знания науки непрерывно расширяются. Чем же они ограничены? Почему ты считаешь, что существует что-то непознаваемое?

[GSerg]

Всегда существует что-то непознаваемое в данный момент времени. Однако, факт познания меняет субъект исследования, расширяя его возможности познания. Посему, при условии неограниченности времени, ничего непознаваемого нет

[Vitaly1]

Кроме шуток, ты же сам утверждаешь, что знания науки непрерывно расширяются. Чем же они ограничены? Почему ты считаешь, что существует что-то непознаваемое?

В каждый определенный момент времени знания науки, как и знания вообще, всегда ограничены, хотя граница наших знаний может и расширяться. Расширение знаний человека, как и знаний человечества ограничены хотя бы не вечным существование последних.

[Approximator]

(Квотить не буду, и так уже на экран не влезает.)

Если без сабквотинга, то вполне нормально.

1) Рассмотри множество функций из N в N. Оно дискретно (если понимать это как "найдутся два таких элемента, между которыми ничего нету"), но континуально.
И всё равно из счётности знаний ещё не следовала бы их ограниченность.

Не, Тёмыч, давай не будем издеваться над математикой - множество не может быть одновременно и дискретностым, и континуальным (сиречь непрерывным), так как это разные значения одного и того же свойства - окрестное определение сходимости на конкретном множестве всегда даст либо одно, либо другое. Из дискретности всегда следует счётность.
Есть актуальная бесконечность, а есть абстракция потенциальной бесконечности (пример, множество натуральных чисел счётно, но при желании (потенциально) его можно продолжать до опупения, однако и при этом оно всегда останется счётным).

2) Можно пользоваться терминами малоизвестного философа, не принимая его теорию целиком, ведь так? Он верил, что материя существует, а я нет И таки да, я вполне осознаю недоказуемость познаваемости/непознаваемости/отсутствия материи, опираясь на одни только впечатления.

Дык, я не возражал, а лишь конкретизировал, что ты в отличие от малоизвестного философа придерживаешься субъективного идеализма.

3) Просвети - как в философии можно "доказывать теоремы"? Там, что ли, можно ввести систему аксиом? Сколько меня учили, я увидел там только сплошные умозрительные мудрствования вместо логики.

Неопозитивизм является единственным философским направлением, построенным в строгом соответствии с логикой. Так как весь неопозитивизм слишком велик, чтобы можно было бегло осмотрев составить какое-то мнение о нём, попробуй ознакомиться с одним из его ветвлений, например, в лице лингвистической философии - весьма строгой и логически выдержанной дисциплины.

[tyomitch]

1) Рассмотри множество функций из N в N. Оно дискретно (если понимать это как "найдутся два таких элемента, между которыми ничего нету"), но континуально.
И всё равно из счётности знаний ещё не следовала бы их ограниченность.

Не, Тёмыч, давай не будем издеваться над математикой - множество не может быть одновременно и дискретностым, и континуальным (сиречь непрерывным), так как это разные значения одного и того же свойства - окрестное определение сходимости на конкретном множестве всегда даст либо одно, либо другое. Из дискретности всегда следует счётность.
Есть актуальная бесконечность, а есть абстракция потенциальной бесконечности (пример, множество натуральных чисел счётно, но при желании (потенциально) его можно продолжать до опупения, однако и при этом оно всегда останется счётным).

Вот, давай лучше перейдём от философии к математике
Противоположность дискретности - непрерывность.
Противоположность континуальности - счётность.
Между собой эти пары понятий никак не связаны, ибо описывают понятия совершенно разного рода; одна - свойство множества в каждой точке, другая - свойство множества в целом.
Множество функций из N в N, и даже из N в {0, 1} - дискретно, но континуально.
Множество рациональных чисел - непрерывно, но счётно.

Так что у нас, скорее всего, опять какое-то рассогласование с понятиями...

[Approximator]

1) Рассмотри множество функций из N в N. Оно дискретно (если понимать это как "найдутся два таких элемента, между которыми ничего нету"), но континуально.
И всё равно из счётности знаний ещё не следовала бы их ограниченность.

Не, Тёмыч, давай не будем издеваться над математикой - множество не может быть одновременно и дискретностым, и континуальным (сиречь непрерывным), так как это разные значения одного и того же свойства - окрестное определение сходимости на конкретном множестве всегда даст либо одно, либо другое. Из дискретности всегда следует счётность.
Есть актуальная бесконечность, а есть абстракция потенциальной бесконечности (пример, множество натуральных чисел счётно, но при желании (потенциально) его можно продолжать до опупения, однако и при этом оно всегда останется счётным).

Вот, давай лучше перейдём от философии к математике
Противоположность дискретности - непрерывность.
Противоположность континуальности - счётность.
Между собой эти пары понятий никак не связаны, ибо описывают понятия совершенно разного рода; одна - свойство множества в каждой точке, другая - свойство множества в целом.
Множество функций из N в N, и даже из N в {0, 1} - дискретно, но континуально.
Множество рациональных чисел - непрерывно, но счётно.

Так что у нас, скорее всего, опять какое-то рассогласование с понятиями...

Во-первых, в современной математике нет существенного различия между точкой и множеством (в теории множеств вообще не дается отдельного определения элемента множества, вместо этого есть определение одноэлементного множества), так как множество может состоять всего из одной точки (одного элемента не особенно важно какой природы) и, соответственно (если множество представляет собой топологическое пространство), быть вырожденным континуумом (а вот множество из двух точек континуумом быть не может, см. определение ниже).
Все понятия дискретность (она же счётность), непрерывность (она же континуальность - просто терминами счётность/континуальность объединяется, соответственно, дискретность/непрерывность с мощностью множества, по сути же, данные термины эквивалентны) самостоятельного определения не имеют. Они определяются через определение сходимости в окрестности точки множества (по Фреше).
Во-вторых, если система окрестностей всякой точки множества Х, а так же система открытых множеств в Х обладают счётной базой, то такое множество счётно и, следовательно, оно равномощно множеству натуральных чисел. (определение (кстати, оно единственное) дано Хаусдорфом, был такой "малоизвестный" математик).
В-третьих, из определения континуума (Математическая энциклопедия, словарная статья "Континуум", стр. 287)

Континуум - термин, употребляемый для обозначения образований, обладающих известными свойствами непрерывности...

В нашем разговоре определение непрерывности можно смело понимать хоть в смысле Дедекинда, хоть Кантора, хоть Вейерштрасса - правильность сказанного мной не изменится - так как в общем суть всех определений (аксиом) непрерывности сводится к определению (аксиоме), выражающей тем или иным образом непрерывность множества действительных чисел (вещественного континуума). (для справки можно посмотреть Ibid., словарная статья "Непрерывности аксиома", стр. 409)
В-четвёртых, из определения множества рациональных чисел (Ibid., словарная статья "Рациональное число", стр. 522):

Всякое рациональное число может быть заключено между двумя рациональными числами (значения по недостатку и по избытку), разность между которыми сколь угодно мала, то есть множество рациональных чисел является плотным в множестве действительных чисел. Оно, однако, не обладает свойством непрерывности (полноты). Минимальным пополнением множества рациональных чисел, обладающим свойством непрерывности служит множество действительных чисел (вещественный континуум).

Так что, "учите мат(ематическую) часть".

[tyomitch]

Я человек простой, многотомных словарей у меня нету. Но зато есть http://dictionary.reference.com/
Вот что пишут там:

con·tin·u·um n. pl. con·tin·u·a or con·tin·u·ums

1. A continuous extent, succession, or whole, no part of which can be distinguished from neighboring parts except by arbitrary division.
2. Mathematics.
   
   1. A set having the same number of points as all the real numbers in an interval.
   2. The set of all real numbers.

Почему-то здесь так же, как и в моём учебнике, речь идёт о мощности, а не о непрерывности.

Определение непрерывности там дано только для линии, поэтому покажи мне "правильное": перечисленные тобой математики для меня действительно малоизвестные

Какой-то умный древний грек (не Пифагор? забыл ) говорил в начале спора: "договоримся о словах". Вот, и нам бы не мешало согласовать понятия, ибо они, как теперь уже очевидно, сильно расходятся.

[Approximator]

Я человек простой, многотомных словарей у меня нету. Но зато есть http://dictionary.reference.com/

Если сильно интересует, то попробуй хотя бы что-то вроде вот этого:
http://mathworld.wolfram.com/letters/

http://mathworld.wolfram.com/letters/C.html

http://mathworld.wolfram.com/Continuum.html

http://mathworld.wolfram.com/Continuity.html

http://mathworld.wolfram.com/Continuous.html

http://mathworld.wolfram.com/CountableSet.html

http://mathworld.wolfram.com/ContinuousSpace.html

http://mathworld.wolfram.com/TopologicalSpace.html

А можешь просто сравнить лексические основы терминов continuum (континуум) и continuous set (непрерывное множество).

Почему-то здесь так же, как и в моём учебнике, речь идёт о мощности, а не о непрерывности.

Определение мощности множества смотрел?

http://mathworld.wolfram.com/CardinalNumber.html

Что такое континуум-гипотеза знаешь?

http://mathworld.wolfram.com/ContinuumHypothesis.html

Определение непрерывности там дано только для линии, поэтому покажи мне "правильное": перечисленные тобой математики для меня действительно малоизвестные

Выше я дал все необходимые ссылки.
P.S. "перечисленные тобой математики для меня действительно малоизвестные" - За Кантора и Хаусдорфа особенно обидно.

[tyomitch]

Попробовал. Тут - http://mathworld.wolfram.com/Continuum.html - тоже речь идёт о мощности. Если ты хочешь объяснить мне используемые тобой термины, то лучше давать линки напрямую на них, а не на целые словари, чтобы я там что-то искал. Просто потому, что ты знаешь что искать, а я нет - тебе это будет легче.

Про лексические основы: это уже опять философия вместо математики пошла. У нас у одного препода была такая теория: "Знаете, почему в Америке не уважают русских? Потому что у слов slave и slavic одинаковая лексическая основа." Поэтому же у нас, по такой логике, должны не любить арабов

Кантор и Хаусдорф, я думаю, на меня не в обиде... При этом как раз про Вейерштрасса и Дедекинда я что-то слышал, а про Хаусдорфа - ни разу

Ни на http://mathworld.wolfram.com/CardinalNumber.html , ни на http://mathworld.wolfram.com/ContinuumHypothesis.html нет ни слова про непрерывность. Где всё-таки написано, что континуальность и непрерывность хоть как-то связаны?


Плз объясни, мне действительно интересно

[Approximator]

Попробовал. Тут - http://mathworld.wolfram.com/Continuum.html - тоже речь идёт о мощности. Если ты хочешь объяснить мне используемые тобой термины, то лучше давать линки напрямую на них, а не на целые словари, чтобы я там что-то искал. Просто потому, что ты знаешь что искать, а я нет - тебе это будет легче.

Это ты так шутишь, или это такой изощрённый способ издевательства? Очень надеюсь, что первое.

Во-первых, я дал тебе разъяснения со ссылкой на конкретные страницы вполне доступного русскоязычного Математического словаря. Причём, я точно процитировал те места, на которые я ссылался. Вольфрам, безусловно, рассчитан на более искушённого в математике читателя.
Но и там, я дал последовательность ссылок.
Идём к континууму http://mathworld.wolfram.com/Continuum.html

Написано:

The first is a compact connected metric space.

Компактное и связное метрическое пространство и есть непрерывное пространство.

См.
http://mathworld.wolfram.com/ClosedSet.html
http://mathworld.wolfram.com/ConnectedSet.html

A connected set is a set that cannot be partitioned into two nonempty subsets which are open in the relative topology induced on the set. Equivalently, it is a set which cannot be partitioned into two nonempty subsets such that each subset has no points in common with the set closure of the other.
...
The real numbers are a connected set, as are any open or closed interval of real numbers.

Причём последняя часть приведённой цитаты полностью соответствует определению непрерывности данное Кантором (см. у Вольфрама http://mathworld.wolfram.com/Cantor-DedekindAxiom.html и сравни с цитатой из Вольфрамовской статьи про континуум: "Paradoxically, there are exactly as many points c on a line (or line segment) as in a plane, a three-dimensional space, or finite hyperspace, since all these sets can be put into a one-to-one correspondence with each other".)

И всё это лишь ради того, чтобы доказать тебе своё высказывание:

...и континуальным (сиречь непрерывным)...

Которое, кстати, появилось, как пояснение к тому, что любое дискретное множество счётно, в отличие от континуума http://mathworld.wolfram.com/Continuum.html :

The second is the nondenumerable set of real numbers

Чего ещё надо-то? Доказать, что континуум непрерывен, а не дискретен? Дык, по-моему, уже достаточно про это сказал.

Кстати, про множество рациональных чисел. Вообще для определения полноты (следует отметить, что полнота числовых множеств не вполне эквивалентна компактности и связности (сиречь непрерывности) метрического пространства) того или иного множества необходимо использовать определение метрики. Их всего два, первое базируется на норме действительных чисел (в этом случае можно вульгаризировать - метрика конкретного n-мерного метрического пространства сводится к определению расстояния между парой точек в n-мерном Евклидовом (вообще говоря, правильнее было бы сказать Римановом, но не хочется путать, хочется наглядности) пространстве, смысл, я думаю, тебе понятен), второе - на p-адическую норму (попробуй вот это http://mathworld.wolfram.com/p-adicNorm.html).

Так вот, в обоих этих метриках множество рациональных чисел неполно (в т.ч. не континуально = не непрерывно и т.п.). Так принято во всей академической математической русскоязычной литературе (ссылку на Мат. справочник я приводил выше, могу ещё присовокупить ссылку на Мат. энциклопедию, т. IV, стр. 922, словарная статья "Рациональное число").
В западной (как правило американской) литературе, понятия рациональное число, и рациональное p-адическое число смешивают, потому мы можем прочесть у Вольфрама (http://mathworld.wolfram.com/RationalNumber.html):

It is always possible to find another rational number between any two members of the set of rationals. Therefore, rather counterintuitively, the rational numbers are a continuous set, but at the same time countable.

В то время, как, очевидно (математику), что речь здесь может идти только о p-адических числах, множество которых является пополнением множества рациональных чисел, до полного множества в p-адической метрике. Множество p-адических чисел полно (но всё равно не связно!) только в своей метрике, вещественный континуум в любой. Потому в русскоязычной литературе, о непрерывности не только множества рациональных чисел, но и непрерывности множества p-адических чисел, говорить непринято (хотя бы потому, что оно не связно). Такие расхождения бывают (я таких чисто терминологических расхождений могу привести массу, как в математике, так и в физике), они не связаны с политикой, просто, математические школы сильно разные, в России более консервативные, в США менее (кстати, большинство американских математиков и физиков сами признают, что "там" существует проблема корректного терминоиспользования ).

Я считаю, что сказанного уже более чем достаточно.

Про лексические основы: это уже опять философия вместо математики пошла.

Нет - не философия, а нормальная ссылка на этимологию математического термина. Дело в том, что говоря о чём-то непрерывном (прилагательное contiuous), обычно принято предполагать непрерывность отображения (функции, группы преобразований и т.п.), а чтобы подчеркнуть, что подразумевается непрерывное множество говорят (по-русски) континуум или континуальность (как собственно говоря делал и я). Так что, никакой философией здесь и близко не пахнет.

Кантор и Хаусдорф, я думаю, на меня не в обиде... При этом как раз про Вейерштрасса и Дедекинда я что-то слышал, а про Хаусдорфа - ни разу

Блин, что же тогда вообще известно из математики, если не слышал про хаусдорфово пространство. В современной математике это понятие встречается куда чаще евклидова пространства, про которое, уверен, ты что-то слышал.


P.S. Если вульгаризировать, суть континуум-гипотезы сводится к тому, что утверждается, что всякий континуум равномощен вещественному. Доказано, что менее мощного континуума, чем вещественный, быть не может (уже не континуум (не обладает свойством непрерывности), как было выше сказано в приведённой мною цитате посвящённой множеству рациональных чисел из академической русскоязычной литературы).

И ещё, понятие мощности или кардинального числа ВСЕГДА сторится на противопоставлении мощностей каких-либо множеств и мощности континууального (хочешь непрерывного, а хочешь компактного и связного) множества - вещественного континуума. То есть, несмотря на то, что явно никто о непрерывности не говорит, никакого иного смысла понятие кардинального числа, мощности и т.п. не имеет (как никак Кантор ради этого его и ввёл) - максимальная мощность принадлежит континуальному (непрерывному) множеству - множеству действительных чисел (вещественному континууму).

[tyomitch]

Написано:

The first is a compact connected metric space.

Компактное и связное метрическое пространство и есть непрерывное пространство.

Конкретно про это. Явно этого ни по одной из ссылок не написано. Верно ли, что "компактное и связное метрическое пространство" - это определение непрерывного пространства?



Вообще, гораздо удобнее посылать меня на Вольфрам, чем в "доступный словарь", потому что Интернет у меня есть, а этого словаря нет. Поэтому я и жаловался на ссылки...

Про Хаусдорфа: насколько я понимаю, "современной" математике нас будут учить после "классической". Так что всё совершенно закономерно. Из всех названных тобой математиков он вообще самый молодой

[Approximator]

Написано:

The first is a compact connected metric space.

Компактное и связное метрическое пространство и есть непрерывное пространство.

Конкретно про это. Явно этого ни по одной из ссылок не написано. Верно ли, что "компактное и связное метрическое пространство" - это определение непрерывного пространства?

Да. А по поводу того, что у Вольфрама (это фамилия мужука, "посылать на Вольфрама" - круто сказано ) нет чётких определений, а по бОльшей части описание (почувствуй разницу!), связано с тем, что они (америцанцы) вообще стараются не учить определения. Типа, интуитивно ясно (то есть, если объяснено через смежные понятия). Ты же не возмутился, что у того же Вольфрама в статьях написано: в статье "Continuity" - "The property of being continuous" (и всё!); в статье "Continuous Space" - "A topological space" (и всё! можно подумать, что всякое топологическое пространство непрерывно ).
На самом деле, в бумажной версии Вольфрама (а у меня есть и такая) в статье "Continuous Space" написано, что необходимые сведения о непрерывности, объясняются в терминах топологической геометрии и дана ссылка на статью "Topological Space".

Вообще, гораздо удобнее посылать меня на Вольфрам, чем в "доступный словарь", потому что Интернет у меня есть, а этого словаря нет. Поэтому я и жаловался на ссылки...

Вообще говоря, я мог бы дать тебе ссылку и на то место, где можно было бы скачать многотомник Математической энциклопедии, но это, во-первых, по понятным соображениям в привате, во-вторых, я, правда, не уверен, что ты сильно этого (скачивать сотни мегов) хочешь.

Про Хаусдорфа: насколько я понимаю, "современной" математике нас будут учить после "классической". Так что всё совершенно закономерно. Из всех названных тобой математиков он вообще самый молодой

За Хаусдорфа уже не так обидно .

[tyomitch]

Хорошо. Но разве компактность множества не включает ограниченность? Нас, наоборот, учили, что линия некомпактна.

Даже тут: http://mathworld.wolfram.com/CompactSet.html - пишут, что "Compact sets are closed and bounded".

[Approximator]

Хорошо. Но разве компактность множества не включает ограниченность? Нас, наоборот, учили, что линия некомпактна.

Даже тут: http://mathworld.wolfram.com/CompactSet.html - пишут, что "Compact sets are closed and bounded".

Компактность тоже определяется двояко, в данном случае, когда подразумевается пространство со счётной локальной базой, компактность необходимо понимать, как свойство любого бесконечного подмножества иметь предельную точку.
Теперь про то, почему это важное свойство континуума.
В топологии свойства непрерывности пространства или любого множества формируются при помощи понятия предельной точки (:) то есть без неё никак ). Потому в топологии континуумом является ЛЮБОЙ связный компакт. То есть всякий кусок непрерыной линии (вообще n-мерного риманова пространства) является и связным компактом, и континуумом . В то время как сама линия (вообще всё n-мерное риманово пространство), естественно, компактом не является . Хотя и обладает свойством связности и континуальности . Это необходимо, как раз для того, чтобы непрерывность можно было определять локально для любого подмножества континуума (в этом случае всякое такое подмножество является связным компактом).
Что поделать, такая интересная штука - топология.