Конференция VBStreets

**Debugger** » 17.10.2010 (Вс) 11:40

Как найти момент инерции параллелепипеда, если он вращается относительно одного из своих ребер?

**Хакер** » 17.10.2010 (Вс) 12:31

Интегрированием.

Можно сразу, можно найти для оси, совпадающей с осью симметрии, а потом «перенести» ось по правилу Гюйгенса-Штейнера.

**Александр Дмитриев** » 17.10.2010 (Вс) 14:30

А в чём конкретно проблема? Не получается записать интеграл? Не получается вычислить интеграл? Нужно решить без интегрирования, сведя к табличным значениям?

**Debugger** » 17.10.2010 (Вс) 20:53

Интегрированием.

Спасибо, но я знаю.

Не получается записать интеграл?

Нет, не получается.

Не получается вычислить интеграл?

Нет, не получается.

А в чём конкретно проблема?

Я не знаком с интегралами.
Можете посчитать за меня?

**Александр Дмитриев** » 17.10.2010 (Вс) 21:59

Пусть масса параллелепипеда равна $Математическая формула: m$ , а стороны - $Математическая формула: a$ , $Математическая формула: b$ и $Математическая формула: c$ . Плотность параллелепипеда: $Математическая формула: \rho = \frac{m}{abc}$ . Возьмём любую из 8 вершин параллелепипеда, возьмём её за начало координат, оси OX, OY, OZ проведём так, чтобы их положительные направления содержали стороны длинами соответственно $Математическая формула: a$ , $Математическая формула: b$ и $Математическая формула: c$ . Элементарная масса: $Математическая формула: dm = \rho \, dx \, dy \, dz$ . Момент инерции относительно оси OZ: $Математическая формула: I$ = $Математическая формула: \int_0^a\int_0^b\int_0^cr^2dm$ = $Математическая формула: \int_0^a\int_0^b\int_0^c(x^2 + y^2) \rho \, dx \, dy \, dz$ = $Математическая формула: \int_0^a\int_0^b\int_0^c(x^2 + y^2) \frac{m}{abc} \, dx \, dy \, dz$ = $Математическая формула: \frac{m}{abc}\int_0^c \left( \int_0^a\int_0^b(x^2 + y^2) \, dx \, dy \right) dz$ = $Математическая формула: \frac{m}{ab} \left( \int_0^a\int_0^bx^2 \, dx \, dy + \int_0^a\int_0^by^2 \, dx \, dy \right)$ = $Математическая формула: \frac{m}{ab} \left( \int_0^b \left( \int_0^ax^2 dx \right) dy + \int_0^a \left( \int_0^by^2 dy \right) dx \right)$ = $Математическая формула: \frac{m}{ab} \left( \int_0^b \frac{a^3}{3} dy + \int_0^a \frac{b^3}{3} dx \right)$ = $Математическая формула: \frac{m}{ab} \left( \frac{a^3b}{3} + \frac{ab^3}{3} \right)$ = $Математическая формула: \frac{m \left( a^2 + b^2 \right)}{3}$ .

**Debugger** » 17.10.2010 (Вс) 22:47

Большое спасибо!

Конференция VBStreets

Момент инерции

Момент инерции

Re: Момент инерции

Re: Момент инерции

Re: Момент инерции

Re: Момент инерции

Re: Момент инерции

Кто сейчас на конференции