Разложние в ряд

[Kovu]

Функция Ln(1+X) раскладывается в ряд по формуле
Но она справедлива только для |x|<1 . Может кто знает разложение для интервала [1;2)?

[_ae_]

Разложение функции ln(x+2) найти сможешь?

Но она справедлива только для |x|<1

Она справедлива только для x<<1 причем чем больше x тем менее точно равентсво.

[tyomitch]

Но она справедлива только для |x|<1

Она справедлива только для x<<1 причем чем больше x тем менее точно равентсво.

Неправда. Она справедлива для всех x, причём равенство всегда точное.
Просто когда x<<1, можно взять первые члены ряда и считать остальные пренебрежимо малыми.
А когда x>1, то члены ряда возрастают по модулю, и никакая его частичная сумма не будет адекватным приближением.

[Kovu]

Ну если

равенство всегда точное

, то почему же при x=2 и N=1000 сумма ряда равна 1.446E+301

[tyomitch]

В этой формуле нет N. О чём речь?

[Kovu]

tyomitch
Ну n там есть вообщето. Под N я подразумеваю количество элементов последовательности которые мы реально считаем(не будем же мы бесконечное количество складывать).

[tyomitch]

А надо.

А когда x>1, то члены ряда возрастают по модулю, и никакая его частичная сумма не будет адекватным приближением.

[_ae_]

почему же при x=2 и N=1000 сумма ряда равна 1.446E+301

tyomitch, если то правда, то вы неправы.
Сумма такого(состоящего из положительных членов) ряда будет бельше чем, любая частная его сумма, с этим вы не поспорите?
А тут мы видим, что частная сумма явно больше, чем ln нужного числа....

[tyomitch]

О каких положительных членах речь, если в числителе стоит (-1)^n?

[Kovu]

tyomitch
Между прочим в самой Википедии написано что формула для |x|<1..
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1% ... 1%80%D0%B0

[_ae_]

tyomitch
Сори проглядел.
Но в этом случае, при |X|>1 ряд несходящийся и формула не имеет математического смысла.

[tyomitch]

Но в этом случае, при |X|>1 ряд несходящийся и формула не имеет математического смысла.

Почему это он несходящийся?
Может, ряд тоже несходящийся?

[Amed]

Kovu, смотрим на страницу и читаем подпись под формулой.

"В самой Википедии"!
Где гарантия того, что формула там не была кем-то "заботливо" подправлена? Я могу сделать это за минуту, а ты ссылаешься на формулу как на постулат.

А если бы там было написано |x|>1 - какую бы версию ты отстаивал?

[Kovu]

Если бы там было так написано я бы не поврил своим глазам, так как то здоровое число поразило меня до глубины =)
Форумулу проверял в маткаде.

[_ae_]

tyomitch
Ряд не сходится при |x|>1 нужны доказательства?
И при чем тут ряд, который вы привели?

[tyomitch]

1. Конечно, нужны.
2. Мне показалось, что вас на мысль о расходимости исходного ряда натолкнула его знакопеременность:

Сори проглядел.
Но в этом случае, ...

[_ae_]

Надо ли доказать, что для любого C существует n такое, что n-ная частная сумма будет больше чем C? (1)
Надо ли доказать, что из (1) следует и тот факт, что ряд расходится?
Все при x>1

[tyomitch]

1) да
2) не обязательно

[_ae_]

Хм, нет, я поменяю метод доказательства.
Нужно ли доказать, что для того что бы ряд (сумма a(i) ) сходился необходимо что бы последовательность a(i) членов ряда сходилась к нулю?
Надо ли доказать, что послеовательность из членов нашего ряда не сходится к нулю?

[tyomitch]

Да докажи уже хоть как-нибудь, мне всё равно как.
:зеваю:

[GAGArin]

(x^(n-1))/(n+1) - очевидно стремится к бесконечности. В числителе степенная функция в знаменателе линейная. Соответственно последовательность модулей членов ряда расходится, ряд не удовлетворяет условиям Лейбница - соответственно расходится.