Построение дуги по 2 точкам и радиусу

[Sirik]

Всем дорого дня
Необходимо построить дугу по 2 точкам, которые ее ограничивают, и радиусом.
Пока что получилось следующее: если центр дуги лежит в начале координат и отдаленность точек совпадает с радиусом.
Например: А(2,0), В(0,2), радиус 2.

duga1.jpg (4.69 Кб) Просмотров: 11118

Но как быть если точки те же, а вот радиус например 3; или 1?

ps/ вот нарисовал что должно получится если радиус примерно 4 (смотреть только верхний правый квадрат):

duga2.jpg (20.36 Кб) Просмотров: 11118

Я так понимаю, что надо смещать центр круга по прямой, которая проходит под 45град вниз (только для данного случая), но вот как определить начальный и конечный угол ума не приложу

[Qwertiy]

• Взяли отрезок, соединяющий 2 точки, определили его длину.
• Определили высоту равнобедренного треугольника с радиусами по бокам.
• Отложили эту длину на срединном перпендикуляре.
• Получилось 2 возможных центра окружности.
• Нарисовали окружность. Всё.

[Debugger]

Таких дуги две, кстати.

[Mikle]

Таких дуги две, кстати.

Кстати, четыре.

[pronto]

Можно построить окружности из заданных точек с заданным радиусом, пересечения этих окружностей и будут центрами дуг

Drawing1.png (13.41 Кб) Просмотров: 11098

[Хакер]

prono, какой смысл твоего поста? В аспекте программирования? Никакого.

[pronto]

Выбор способа тоже является частью решения задачи. Или мне выложить код для нахождения пересечения окружностей?

[Хакер]

То, что ты предложил — это не способ вообще.

«Можно построить» — это то, что актуально для человека и для листа бумаги, который есть у человека. Человек чертит циркулем одну окружность, другую окружность, а потом его зрительный аппарат, анализируя картинку, находит пару заветных точек.

Для компьютера и для выполняющейся программы понятие «построить» становится расплывчатым и теряет смысл. Если программа решает задачу, то что значит «построить»? Вычислить каждый элемент бесконечного множества? Найти пересечение двух бесконечных множеств? Или нарисовать на конечном множестве пикселей — растре экрана эти окружности и найти пиксели, которые пришлось закрасить дважды (подарив поздвателю нафиг ему не нужные лишние вспомогательные окружности)?

Или что? Что означает «построить», когда речь идёт о задаче по вычислению промежуточных координат силами программы?

Программе не надо ничего строить, чтобы искать пересечение. Программа может сразу, сходу, не строя и не «ища» точки пересечения, вычислить их координаты как значение очень простого выражения.

Собственно, как вычислить эти координаты уже написали во втором способе.

Ты можешь настоять на том, что твой способ с непонятным призывом что-то «строить» (вот это слово, конечно же, действует как красня тряпка и является самым провокационным в твоём посте, потому как полностью заточено под бумажный способ решения) нужно свети к призыву составить систему уравнений, решениями которой будут координаты искомых точек, и заставить программу решить её.

Но вообще-то решение такой системы должно быть выполнено программистом ещё в compile-time, вернее даже в coding time. И решения этой системы из пары уравнений второй степени будут представлять собой те же самые выражения, которые получились бы, если действовать способом из второго поста.

[pronto]

Ой, сколько шуму! Это всё называется «профессиональная деформация сознания». Потому что для обычного человека в данном контексте «строить» и «вычислять» должно быть эквивалентно друг другу. Хакер, отдыхай почаще!
Кстати, фраза «Отложили эту длину на срединном перпендикуляре» тоже подразумевает потроение с помощью линейки и циркуля...
PS Дабы не углюбляться в полемику, то о полезности моего первого поста пусть решит автор. Если он сочтёт его бесполезным и/или ненужным, то я удалю все свои сообщения.

[Sirik]

Таких дуги две, кстати.

Кстати, четыре.

Вообще-то она одна, так как в моем частном случае надо чертить только против часовой стрелке.
Вот еще один пример:

duga3.png (9.66 Кб) Просмотров: 11090

В данном случае надо перейти от красной точке к зеленой с радиусом 60. Но тут все просто: радиус ровняется разности координат этих двоих точек.

Сейчас буду думать об алгоритме со 2 поста.

[Mikle]

Вообще-то она одна, так как в моем частном случае надо чертить только против часовой стрелке.

Тогда две - есть ещё большая дуга второй окружности, тоже против ч. с.

[Sirik]

Это если круг разделить на 2 дуги: от точки 1 к точке 2, и от точки 2 к точке 1. Мне же нужна только первая.

[Mikle]

Обе окружности имеют одинаковый радиус. От точки "1" к точке "2" можно пройти по красной либо по синей дугам, обе против ч.с.

[Sirik]

Ну вот на примере что я выше показал, как можно еще по другому прийти от красной точке к зеленой? Если надо "идти" с опр радиусом и против часовой стрелке. Я просто не могу понять откуда появилась еще одна окружность

[Sirik]

Кстати в описании G кодов (как раз по них и делаю) если радиус задан отрицательный, то берется именно бОльшая окружность, если положительный, то меньшая

[Mikle]

Ну вот на примере что я выше показал, как можно еще по другому прийти от красной точке к зеленой? Если надо "идти" с опр радиусом и против часовой стрелке. Я просто не могу понять откуда появилась еще одна окружность

[Sirik]

Ага, уже понял) Но сейчас меня интересует только та, что на первом примере (так сказать с положительный радиусом). Как реши с ней, перейду к той что Вы описали

[pronto]

Радиус не бывает отрицательным. Кривые бывают выпуклые и вогнутые, а окружность не может быть вогнутой. Простыми словами: интересующая дуга должна находиться сверху вооброжаемой линии между данными точками, а её центр, соответственно, снизу. Можно подумать про направление дуги в частном случае, когда X1 = X2, т.е. линия расположена вертикально.

[Sirik]

Я знаю что радиус не может быть отрицательным, он таким образом задается в условии. Как-то так: если положительный, то дуга нижняя, если отрицательный, то дуга верхняя.
Сейчас же меня интересует только нижняя, до верхней еще дойти надо)

[pronto]

Тогда не нужно называть это радиусом, пусть это будет разность абсцисс первой и второй точки.

Код: Выделить всё

dX = X1 - X2
dX = 200 - 140 = 60 ( > 0 )
dX = 140 - 200 = -60 ( < 0 )

[Sirik]

Ну вот статья, раздел "R Method Example 2": http://www.manufacturinget.org/2011/12/ ... 2-and-g03/
Тут упоминается про отрицательный радиус, с другой стороны какая разница как его называть)

[pronto]

If we want the arc with the longer arc length, we use a -R value (since -R does not already have a valid meaning)

Если мы хотим дугу с большей длиной, то используем -R ( с этого момента -R не имеет верного смысла).

Возникают вопросы. Кто и в какой момент решает, какая окружность нужна? Почему выбор дуги зависит от знака величины R?
-R — это команда интерпретатору, по какой дуге перемещать инструмент, если используется «R-метод».

[Sirik]

Я так и сказал, что это всего лишь радиус с указанием куда чертить

ps/ хоть убейте, не могу составить правильный алгоритм. единственно что получается - очень частный случай, когда расстояние к началу координат совпадает с радиусом

[Debugger]

Пусть

Код: Выделить всё

A [x1, y1]
B [x2, y2]
R

Как уже написали, у тебя равнобедренный треугольник, стороны - два радиуса и вектор AB. Высота выходит из точки, находящейся посередине AB:

Код: Выделить всё

C = {(x1+x2)/2, (y1+y2)/2 }


имеет направление qnorm

Код: Выделить всё

l = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) - длина вектора AB
q = [y2 - y1, x1 - x2] - повернутый вектор AB
qnorm = q / l - нормированный повернутый вектор AB


и длину h

Код: Выделить всё

h = sqrt(R^2 - (l/2)^2)


Соответственно, так как высота упирается в центр окружности O, он имеет координаты

Код: Выделить всё

O {C.x + qnorm.x*h, C.y + qnorm.y*h}


или, если раскрыть всё (кроме l, чтобы формула не получилась гигантской):

Код: Выделить всё

O.x = (x1+x2)/2 + (y2 - y1)*sqrt(R^2 - (l/2)^2)/l
O.y = (y1+y2)/2 + (x1 - x2)*sqrt(R^2 - (l/2)^2)/l


(формулы стоит перепроверить, особенно поворот вектора)

[Qwertiy]

Или мне выложить код для нахождения пересечения окружностей?

Ну ты же понимаешь, что найти пересечение окружностей существенно сложнее, чем сложить 2 вектора

since -R does not already have a valid meaning
с этого момента -R не имеет верного смысла

поскольку -R само по себе не имеет осмысленного значения

[pronto]

Не сильно существенно, если учесть, что вычисляются обе точки и выполняется проверка на взаимное расположение окружностей

Код: Выделить всё

A1 = 2 * cx1: A2 = 2 * cx2
B1 = 2 * cy1: B2 = 2 * cy2
C1 = cx1 ^ 2 + cy1 ^ 2 - r1 ^ 2
C2 = cx2 ^ 2 + cy2 ^ 2 - r2 ^ 2

M = 1 + ((B1 - B2) / (A2 - A1)) ^ 2
N = ((2 * (C2 - C1) * (B1 - B2)) / (A2 - A1) ^ 2) - B1 + A1 * ((B2 - B1) / (A2 - A1))
q = C1 + ((C2 - C1) / (A2 - A1)) ^ 2 + A1 * ((C1 - C2) / (A2 - A1))

D = N * N - 4 * M * q
If D >= 0 Then 'окружности пересекаются в двух, либо одной точке
   y1 = (-N + Sqr(D)) / (2 * M)
   y2 = (-N - Sqr(D)) / (2 * M)
End If

M = 1 + ((A1 - A2) / (B2 - B1)) ^ 2
N = ((2 * (C2 - C1) * (A1 - A2)) / (B2 - B1) ^ 2) - A1 + B1 * ((A2 - A1) / (B2 - B1))
q = C1 + ((C2 - C1) / (B2 - B1)) ^ 2 + B1 * ((C1 - C2) / (B2 - B1))

H = N * N - 4 * M * q
If H >= 0 Then 'окружности пересекаются в двух, либо одной точке
   x1 = (-N + Sqr(H)) / (2 * M)
   x2 = (-N - Sqr(H)) / (2 * M)
End If

If cx2 < cx1 And cy2 > cy1 Then 'для второй окружности, находящейся в третей четверти
   Picture.Circle (x1, y1), 3
   Picture.Circle (x2, y2), 3
ElseIf cx2 > cx1 And cy2 < cy1 Then 'для второй окружности, находящейся в первой четверти
   Picture.Circle (x1, y1), 3
   Picture.Circle (x2, y2), 3
Else
   Picture.Circle (x2, y1), 3
   Picture.Circle (x1, y2), 3
End If

[The trick]

Посмотри.

Код: Выделить всё

Option Explicit

Private Type Vec
    X As Single
    Y As Single
End Type

Dim pt(2) As Vec, cur As Long

Private Function GetCircle(p1 As Vec, p2 As Vec, p3 As Vec, r As Single, c As Vec) As Boolean
    Dim m1 As Single, m2 As Single
    If p2.X = p1.X Or p3.X = p2.X Then Exit Function
    m1 = (p2.Y - p1.Y) / (p2.X - p1.X)
    m2 = (p3.Y - p2.Y) / (p3.X - p2.X)
    If m2 = m1 Then Exit Function
    c.X = (m1 * m2 * (p1.Y - p3.Y) + m2 * (p1.X + p2.X) - m1 * (p2.X + p3.X)) / (2 * (m2 - m1))
    c.Y = -(1 / m1) * (c.X - (p1.X + p2.X) / 2) + (p1.Y + p2.Y) / 2
    m1 = p1.X - c.X: m2 = p1.Y - c.Y
    r = Sqr(m1 * m1 + m2 * m2)
    GetCircle = True
End Function

Private Sub Form_Load()
    Me.AutoRedraw = True: Me.ScaleMode = vbPixels
    Me.Move (Screen.Width - 8000) \ 2, (Screen.Height - 8000) \ 2, 8000, 8000
    Me.BackColor = vbWhite: Me.ForeColor = vbBlack
End Sub

Private Sub Form_MouseDown(Button As Integer, Shift As Integer, X As Single, Y As Single)
    If cur = 0 Then Me.Cls
    Me.Line (X - 2, Y - 2)-(X + 2, Y + 2), vbRed, B: Print cur + 1
    pt(cur).X = X: pt(cur).Y = Y
    cur = cur + 1
    If cur > 2 Then cur = 0
End Sub
Private Sub Form_MouseMove(Button As Integer, Shift As Integer, X As Single, Y As Single)
    If cur = 2 Then pt(2).X = X: pt(2).Y = Y: Draw
End Sub
Private Sub Draw()
    Dim a As Single, b As Single, _
        s As Single, e As Single, _
        q As Single, c As Vec, r As Single
       
    If Not GetCircle(pt(0), pt(1), pt(2), r, c) Then Exit Sub
   
    a = -(pt(0).Y - c.Y) * r: b = (pt(0).X - c.X) * r: s = Atan2(a, b)
    a = -(pt(1).Y - c.Y) * r: b = (pt(1).X - c.X) * r: e = Atan2(a, b)
    a = -(pt(2).Y - c.Y) * r: b = (pt(2).X - c.X) * r: q = Atan2(a, b)
   
    If e < 0 Then e = 6.28318530717959 + e
    If s < 0 Then s = 6.28318530717959 + s
    If q < 0 Then q = 6.28318530717959 + q
   
    If s > e Then a = s: s = e: e = a
    If q < s Or q > e Then a = s: s = e: e = a
   
    Debug.Print s, e, q
    Me.Cls
    Circle (c.X, c.Y), r, , s, e
    Me.Line (pt(0).X - 2, pt(0).Y - 2)-(pt(0).X + 2, pt(0).Y + 2), vbRed, B: Print 1
    Me.Line (pt(1).X - 2, pt(1).Y - 2)-(pt(1).X + 2, pt(1).Y + 2), vbRed, B: Print 2
    Me.Line (pt(2).X - 2, pt(2).Y - 2)-(pt(2).X + 2, pt(2).Y + 2), vbRed, B
    Me.Refresh
End Sub
Private Function Atan2(ByVal Y As Double, ByVal X As Double) As Double 'Возвращает угол, тангенс которого равен отношению двух указанных чисел
    If Y > 0 Then
        If X >= Y Then
            Atan2 = Atn(Y / X)
        ElseIf X <= -Y Then
            Atan2 = Atn(Y / X) + 3.14159265358979
        Else
            Atan2 = 3.14159265358979 / 2 - Atn(X / Y)
        End If
    Else
        If X >= -Y Then
            Atan2 = Atn(Y / X)
        ElseIf X <= Y Then
            Atan2 = Atn(Y / X) - 3.14159265358979
        Else
            Atan2 = -Atn(X / Y) - 3.14159265358979 / 2
        End If
    End If
End Function

[Mikle]

Посмотри.

Респектище ... только задача немного другая. Debugger описал с виду правильно.

[Хакер]

ps/ хоть убейте, не могу составить правильный алгоритм. единственно что получается - очень частный случай, когда расстояние к началу координат совпадает с радиусом

Держи. Можно двигать контрольные точки мышкой, менять радиус, менять координаты вручную, выбирать ориентацию и направление обхода (2 × 2 варианта дают в конечном свёте 4 варианта дуги, как правильно заметил Mikle).

scr_1.png (26.55 Кб) Просмотров: 11041

Устойчива к некорректным условиям:

scr_2.png (23.61 Кб) Просмотров: 11041

Щедро снабжён комментариями. Выражения по вычислению координат не преведены (не путать с «не приведены») и не упрощены, а представлены манипуиляциями над векторами силами функций с человеко-читаемыми именами.

ArcBy2pAndRadius.zip

(8.25 Кб) Скачиваний: 226

Mikle, жду «респектище»

Добавлено позже:
В примере нашёлся баг. В функции V2GetOxAngle исправьте строку:
V2GetOxAngle = IIf(v.X > 0, 0, pi / 2)
на
V2GetOxAngle = IIf(v.X > 0, 0, pi)

[Mikle]

жду «респектище»

)
Для обучающей программы - самое то, всё действительно читаемо и логично.
Из замеченных багов - надпись "Нет решения!" сильно уменьшается, если точки близко.
А для полного удобства не хватает регулировки радиуса слайдером.
И на первый взгляд что-то многовато кода, хотя, может это из-за всех этих опций - выбор направления и т. п., сильно не вникал.