Забыл математику

[Proxy]

Столкнулся с проблемой утраты знаний по математике, не могу сообразить что я делаю не так.
Задача такая:
Есть точка в одномерном пространстве, она движется от начала координат.
Она перемещается N "тактов", скорость её определяется как (1/(N-X))*K, где X — это номер такта, начиная с 1, N — число тактов, K — некоторый коэффициент.
Позиция каждый такт увеличивается на величину скорости.
Нужно было подобрать коэффициент K таким образом, чтобы за N тактов точка не перемещалась далее позиции точки с координатой M. Т.е. нужно было определить зависимость величины K от N и M.
Чтобы в этом разобраться взял K за единицу, чтобы это движение перевести в математику.
Далее:
Для простоты изменил направление движения в цикле, на конечной позиции точки это не скажется, т.е. значение будет такое же, что и при законе скорости (1/X)*K, т.к. K взял за 1, то 1/X. Откуда я это взял: в каком бы направлении по циклу не двигались — все величины скорости присутствуют, они никак не зависят от предшествующего состояния системы. И т.к. от перемены мест слагаемых сумма не меняется, то координаты точки тоже в итоге примут значение одно и то же вне зависимости от направления.
Теперь: скорость 1/X, стало быть путь в такте N должен определяться как ln(N)-ln(1), т.к. интеграл 1/X от 1 до N. Это без учёта шага, но пока что шагом пренебрегу, от цикла в дальнейшем откажусь, если удастся всё из него переложить на математику, а сейчас плевать на разницу между "ступенями" и "сглаженным" графиком перемещения точки.
Далее:
Создал таблицу, в которой первый столбец — номер такта (пускай от 1 до 6000), второй столбец — позиция точки (сумма значения из ячейки выше и скорости, т.е. отношения 1 к номеру ячейки), третий столбец — та же позиция, но вычисленная по формуле ln(i)-ln(1), где i — номер такта, взятый из ячейки из первого столбца.
Так вот значения не совпадают радикально, не могу сообразить что из вышесказанного не верно. Настораживает величина разности между разными вычислениями координаты, подозрительный у неё график какой-то.

[Proxy]

Хммм, а вот так выглядят графики скоростей, вычисленных так же один по 1/X, другой по Ln(i)-Ln(i-1). Отношения между их значениями почему-то приближаются к 10 при увеличении i.

[Proxy]

Хмм, нашёл ошибку, всё. С 10 - это было заблуждение, значения совпали. Просто упустил ширину "прямоугольников" на графике, высоту считал за площадь.