Математика

[Debugger]

Учу матан.
Решил заглянуть дальше билетов. Попытаться ответить не только на "Что" и "Как", но и на "Почему". Возникли вопросы, на которые гугль и книжечка не смогли дать понятные ответы или же дали, но разные. Прошу форумчан поделиться знаниями.
1. Теорема Барроу. Почему она считается основной теоремой мат. анализа, потому что она связывает интегрирование и нахождение производной? Что же тогда делает формула Ньютона-Лейбница? И почему её иногда приравнивают теореме Барроу в некоторых (мейл-ру ) источниках? Разве она не является продолжением и следствием?
2. Инвариантность неопределенного интеграла - это свойство, согласно которому мы вместо "x", можем поставить любую функцию от этого "х". Есть ли свойство инвариантности определенного интеграла и почему?
3. Операционное исчисление - чтобы найти изображение функции f(x), нам нужно три условия: непрерывность f(x) и её производных для x>0, f(x)<=Mx*e^(Nx) и f(x)=0 при x<0. Откуда "ноги" первых двух пунктов растут - это понятно. А зачем есть третий (f(x)=0 при x<0) пункт?
4. Когда мы решаем ЛНДУ, мы сначала находим общее решение ЛОДУ, затем - частное решение исходя из правой части (она специального вида, положим). Потом мы их складываем просто, плюсиком (Y=Yобщ.однор.+Yчастн.неодн.). Как доказать, что это будет единственным решением этого уравнения? И будет ли, кстати.

[Qwertiy]

4. Когда мы решаем ЛНДУ, мы сначала находим общее решение ЛОДУ, затем - частное решение исходя из правой части (она специального вида, положим). Потом мы их складываем просто, плюсиком (Y=Yобщ.однор.+Yчастн.неодн.). Как доказать, что это будет единственным решением этого уравнения? И будет ли, кстати.

Не единственным, а всем множеством. Общее однородное - это множество.
То, что других решений не существует как-то доказывается. Сейчас попробую. Пусть есть два решения, одно из которых представимо в таком виде. Тогда подставляя в тождество их разность, получаем, что их разность является решением однородной системы. Поскольку любое решение однородной системы получается из Yоо путём выбора соответствующих констант, получаем, что оба эти решения представимы в заданном виде.
Писал не особо задумываясь, возможно что-то наврал...

[Хакер]

1. Теорема Барроу. Почему она считается основной теоремой мат. анализа, потому что она связывает интегрирование и нахождение производной? Что же тогда делает формула Ньютона-Лейбница? И почему её иногда приравнивают теореме Барроу в некоторых (мейл-ру ) источниках? Разве она не является продолжением и следствием?

[FireFenix]

Я вообще калека в матане , но я изложу свои мысли :

1. Теорема Барроу. Почему она считается основной теоремой мат. анализа, потому что она связывает интегрирование и нахождение производной? Что же тогда делает формула Ньютона-Лейбница? И почему её иногда приравнивают теореме Барроу в некоторых (мейл-ру ) источниках? Разве она не является продолжением и следствием?

Теорема Барроу появилась раньше, чем Ньютона-Лейбница, и пока была частью общей математики и базировалась на отношении площади при изменении верхнего предела к времени.

2. Инвариантность неопределенного интеграла - это свойство, согласно которому мы вместо "x", можем поставить любую функцию от этого "х". Есть ли свойство инвариантности определенного интеграла и почему?

По моему инвариантность - это представление функции в виде другой функции, причём результат операций над ними был одинаковым.
Проблема в том, чтобы заменить одну функцию другой - нужно изменить все зависимые части => т.к. определённый интеграл имеет границы, то при изменении подынтегральной функции так же нужно сопоставить верхний и нижний предел.

3. Операционное исчисление - чтобы найти изображение функции f(x), нам нужно три условия: непрерывность f(x) и её производных для x>0, f(x)<=Mx*e^(Nx) и f(x)=0 при x<0. Откуда "ноги" первых двух пунктов растут - это понятно. А зачем есть третий (f(x)=0 при x<0) пункт?

На сколько я понимаю, суть этого выражения в том что наша функция возрастает не быстрее экспоненциальной, тем самым изображение есть аналитическая функция

[Debugger]

Спасибо всем за ответы!

решением однородной системы.

Это в случае, если при вычитании части, что без "C", будут одинаковы и сократятся. А если нет?..
Черт с неоднородными. Обобщу вопрос. Если мы решаем ЛОДУ 2й степени, мы можем найти два частных решения (подобрать, взять на глаз, например). Если вронскиан от них будет ненулевым, мы можем их домножить на коэффициенты C, сложить и получить общее решение (для неоднородных систем это не совсем так, кстати). Как доказать, что это общее решение будет включать в себя ВСЕ решения этой ЛОДУ? Что не найдется решения, которое нельзя будет представить этим способом?

Спасибо! Вроде осознал. Вот этот пожилой человек называет формулу Ньютона-Лейбница основной. А в билетах у нас так и написано:

Основная теорема математического анализа (теорема Барроу).

Куда верить.

Похоже на правду

На сколько я понимаю, суть этого выражения в том что наша функция возрастает не быстрее экспоненциальной, тем самым изображение есть аналитическая функция

Для сходимости этого интеграла - второй пункт: f(x)<=Mx*e^(Nx). А для чего f(x)=0 при x<0 - понять не могу.

Возник ещё вопрос.
5. Зачем при нахождении определителя Вронского нам нужно, чтобы производные решений также были линейно независимы? Неужели недостаточно того, чтобы сами решения (y=f(x)) были независимы?
Чувствую, этот вопрос пересекается с четвертым.

[Qwertiy]

Как доказать, что это общее решение будет включать в себя ВСЕ решения этой ЛОДУ?

Почти все такие штуки доказываются от противного.