Помогите решить задачу по алгебре?

[tyomitch]

Сижу над ней уже две недели, но ничего продуктивного в голову не пришло. Наверное зря я в этом семестре все лекции алгебры пропустил

Требуется доказать, что если Aut(G) -- циклическая группа, то G -- абелева.

Мне почему-то кажется, что верно более сильное утверждение: если Aut(G) -- циклическая группа, то G -- циклическая. Но я даже не знаю, верно это или нет.

Какие вообще есть свойства у циклических групп, которые могли бы мне помочь?

[add]
Подозреваю, что здесь намекают на нужное мне доказательство, но не вижу, что там стоит за словом "implies".
[/add]

[Денис]

Интересные результаты дает поиск по слову "абелева"...

[tyomitch]

Нет, не интересные.
Вернее, интересные сами по себе, но никак не связанные с моей задачей...

[tyomitch]

Доказал для случая, когда Aut(G) -- конечная.
Бесконечной она быть не может, но вот это доказать мне не удаётся...

[GSerg]

Э... может, это принимается как данность?

Также существует ровно одна бесконечная циклическая группа. Из-за такой простоты их строения циклические группы досконально изучены и классифицированы.

...

Может случиться так, что все степени gn будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению.

[tyomitch]

Нет, фишка вот в чём: в группе автоморфизмов абелевой группы всегда есть операция обращения; а если в циклической группе есть операция обращения (у которой порядок 2), то эта циклическая группа конечная. Т.е. если доказываемое мной утверждение верное, то Aut(G) обязательно конечная. Но пока я его не доказал, пользоватся им я не могу

[tyomitch]

Готово, дорешил.
Конечность группы автоморфизмов оказалась ни при чём.



Не так уж и плохо, что я в этом семестре все лекции алгебры пропустил