Теория:
Если функция f непрерывна на открытом интервале (a,b), и имеет натуральный ноль на этом интервале, то выполняется следующая формула:
Xn+1= Xn - f(Xn)/f'(Xn)
Где Xn+1 число приблизительно равное искомому корню.
Xn предыдущее такое число.
f(Xn) - функция с подстановленным Xn.
f'(Xn) - производная функции f, с подстановленным Xn.
Для получения результата с требуемой точностью требуется несколько раз повторить подстановку.
Практика:
Например мы хотим найти корень из числа 7 с точностью до 4 знака после запятой.
1. Составление функции: Так как нам нужно значение при котором f(x)=0 берем f(x)=x^2 - 7. Если вместо х подставим корень из 7 как раз получим 0.
2. Нужно выбрать интервал: Знаем что 7 между 4 и 9 корни которых соответственно 2, 3. Т.е. корень из 7 будет гдето в этом интервале. (2,3)
3. Нужно удостоверится, что в этом интервале функция обнуляется:
f(2)=-3
f(3)=2
Между крайними точками знак меняется, значит там гдето и ноль проскакивает
4. Теперь надо выбрать точку в этом интервале от которой будет идти. Так как интервал мал относительно берем "нейтральную" точку Xn=2.5
Побольшому счету неважно что выберем, чем дальше от ответа тем больше повторений придется сделать.
5. Находим производную от f. К сожалению этот блок я ещё не написал, поэтому ручками. f'(x)=2*x
Вписываем все данные с поля проги и жмем Find.
Смотрим результат: 2.64575112521511
Берем калькулятор: 2.645751311
При требуемой точности до 4 знака результат вполне удовлетворительный