Знак решений системы линейных уравнений

Различные математические алгоритмы.
Debugger
Продвинутый гуру
Продвинутый гуру
Аватара пользователя
 
Сообщения: 1658
Зарегистрирован: 17.06.2006 (Сб) 15:11

Знак решений системы линейных уравнений

Сообщение Debugger » 23.11.2014 (Вс) 16:31

Есть система линейных уравнений:
Все лямбды - положительны. Необходимо доказать, что все p при решении этой системы уравнений получаются положительны.

Как я рассуждал.
Так как у нас на одно уравнение больше, чем нужно, можно любое из них выкинуть. Лучше всего выбросить последнее - тогда получится система уравнений с бесконечно большим количеством решений (с точностью до умножения на коэффициент), и надо доказать, что все p должны иметь одинаковый знак. И тут затык.

Для частных случаев это легко доказывается, поэтому я безуспешно пытался применить индукцию.

Пытался выкидывать другое уравнение - и ничего хорошего не получается, о получившейся системе сложно что-то сказать.

Товарищи, что я делаю не так?
Вложения
equations.png
equations.png (11.01 Кб) Просмотров: 1696
Программист - это локальный бог (С) Я

Debugger
Продвинутый гуру
Продвинутый гуру
Аватара пользователя
 
Сообщения: 1658
Зарегистрирован: 17.06.2006 (Сб) 15:11

Re: Знак решений системы линейных уравнений

Сообщение Debugger » 02.12.2014 (Вт) 13:20

Кстати, задачку решил.

Надо перенести всё в правую часть, и записать сисему в матричном виде - получится матрица с отрицательной диагональю (все остальные коэффициенты - положительны), умноженная на вектор P, равняется нулям. Уже отсюда видно, что не может быть ситуации, один P имеет один знак, а остальные - другой.

Затем можно пойти "от обратного" - предположить, что все решения положительны, кроме Pa, Pb, ... Pd.
Однако, сложив вместе строчки матрицы a, b ... d, мы получим уравнение, где коэффициенты при Pa, Pb... Pd отрицательны, при остальных P - положительны, а в правой части - ноль. То есть, складывая положительные числа, мы получаем ноль - а это противоречие.

Значит, либо все P положительны, либо все P отрицательны.

Оставлю для следующих поколений :)
Программист - это локальный бог (С) Я


Вернуться в Математика

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1

    TopList